लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

3 x - 2 y + 8 z = 38

$3 x - 2 y + 8 z = 38$

6 x + 3 y - 9 z = - 12

$6 x + 3 y - 9 z = - 12$

4 x + 4 y + 20 z = 0

$4 x + 4 y + 20 z = 0$

चरण 1

सिस्टम को मैट्रिक्स के रूप में लिखें.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & - 2 & 8 & 38 6 & 3 & - 9 & - 12 4 & 4 & 20 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 8 & 38 \\ 6 & 3 & - 9 & - 12 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

चरण 2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

1, 1

$1, 1$ की प्रविष्टि को

1

$1$ बनाने के लिए

R_{1}

$R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

1, 1

$1, 1$ की प्रविष्टि को

1

$1$ बनाने के लिए

R_{1}

$R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} 6 & 3 & - 9 & - 12 4 & 4 & 20 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 6 & 3 & - 9 & - 12 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

चरण 2.1.2

R_{1}

$R_{1}$ को सरल करें.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} 6 & 3 & - 9 & - 12 4 & 4 & 20 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 6 & 3 & - 9 & - 12 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} 6 & 3 & - 9 & - 12 4 & 4 & 20 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 6 & 3 & - 9 & - 12 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

चरण 2.2

2, 1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

2, 1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ करें.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} 6 - 6 \cdot 1 & 3 - 6 (- \frac{2}{3}) & - 9 - 6 (\frac{8}{3}) & - 12 - 6 (\frac{38}{3}) 4 & 4 & 20 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 3 - 6 (- \frac{2}{3}) & - 9 - 6 (\frac{8}{3}) & - 12 - 6 (\frac{38}{3}) \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

चरण 2.2.2

R_{2}

$R_{2}$ को सरल करें.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} 0 & 7 & - 25 & - 88 4 & 4 & 20 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 7 & - 25 & - 88 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} 0 & 7 & - 25 & - 88 4 & 4 & 20 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 7 & - 25 & - 88 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

चरण 2.3

3, 1

$3, 1$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

3, 1

$3, 1$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ करें.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} 0 & 7 & - 25 & - 88 4 - 4 \cdot 1 & 4 - 4 (- \frac{2}{3}) & 20 - 4 (\frac{8}{3}) & 0 - 4 (\frac{38}{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 7 & - 25 & - 88 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 4 - 4 (- \frac{2}{3}) & 20 - 4 (\frac{8}{3}) & 0 - 4 (\frac{38}{3}) \end{array}]$

चरण 2.3.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 7 & - 25 & - 88 \\ 0 & \frac{20}{3} & \frac{28}{3} & - \frac{152}{3} \end{array}]$

चरण 2.4

$2, 2$ की प्रविष्टि को

$1$ बनाने के लिए

$R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को

$\frac{1}{7}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2, 2$ की प्रविष्टि को

$1$ बनाने के लिए

$R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को

$\frac{1}{7}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ \frac{0}{7} & \frac{7}{7} & \frac{- 25}{7} & \frac{- 88}{7} \\ 0 & \frac{20}{3} & \frac{28}{3} & - \frac{152}{3} \end{array}]$

चरण 2.4.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 & \frac{20}{3} & \frac{28}{3} & - \frac{152}{3} \end{array}]$

चरण 2.5

$3, 2$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{3} = R_{3} - \frac{20}{3} R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$3, 2$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{3} = R_{3} - \frac{20}{3} R_{2}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 - \frac{20}{3} \cdot 0 & \frac{20}{3} - \frac{20}{3} \cdot 1 & \frac{28}{3} - \frac{20}{3} (- \frac{25}{7}) & - \frac{152}{3} - \frac{20}{3} (- \frac{88}{7}) \end{array}]$

चरण 2.5.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 & 0 & \frac{232}{7} & \frac{232}{7} \end{array}]$

चरण 2.6

$3, 3$ की प्रविष्टि को

$1$ बनाने के लिए

$R_{3}$ के प्रत्येक तत्व को

$\frac{7}{232}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$3, 3$ की प्रविष्टि को

$1$ बनाने के लिए

$R_{3}$ के प्रत्येक तत्व को

$\frac{7}{232}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ \frac{7}{232} \cdot 0 & \frac{7}{232} \cdot 0 & \frac{7}{232} \cdot \frac{232}{7} & \frac{7}{232} \cdot \frac{232}{7} \end{array}]$

चरण 2.6.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 2.7

$2, 3$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{2} = R_{2} + \frac{25}{7} R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$2, 3$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{2} = R_{2} + \frac{25}{7} R_{3}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 + \frac{25}{7} \cdot 0 & 1 + \frac{25}{7} \cdot 0 & - \frac{25}{7} + \frac{25}{7} \cdot 1 & - \frac{88}{7} + \frac{25}{7} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 2.7.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 2.8

$1, 3$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{1} = R_{1} - \frac{8}{3} R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$1, 3$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{1} = R_{1} - \frac{8}{3} R_{3}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{8}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} - \frac{8}{3} \cdot 0 & \frac{8}{3} - \frac{8}{3} \cdot 1 & \frac{38}{3} - \frac{8}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 2.8.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 2.9

$1, 2$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.1

$1, 2$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & 10 + \frac{2}{3} \cdot - 9 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 2.9.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

चरण 3

समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$x = 4$

$y = - 9$

$z = 1$

चरण 4

हल क्रमित युग्मों का सेट है जो तंत्र को सत्य बनाता है.

$(4, - 9, 1)$